Las epidemias surgieron, prácticamente, desde que el hombre empezó a vivir en comunidades numerosas. Tucídides, historiador de la antigüedad, reporta en su libro Historia de la guerra del Peloponeso la epidemia que azotó la ciudad de Atenas entre 430-426 a.n.e., en el que menciona síntomas, progresión y número de muertes. De hecho, la palabra epidemia proviene del griego, epi, por sobre, demos, pueblo, y logos, que significa estudio. Es la descripción acerca de la salud comunitaria, que ocurre cuando una enfermedad afecta a una cantidad de individuos, superior al esperado. El ilustre sabio y médico griego Hipócrates, contemporáneo de Tucídides, se considera el padre de la epidemiología, al establecer el nexo entre enfermedad y medio ambiente y delinear los factores que afectan la diseminación de una enfermedad en el tiempo.^1,2

Numerosas epidemias han afectado a la humanidad, y muchas han sido bien documentadas. Se puede decir, incluso, que sus influencias en diversos acontecimientos históricos no son para nada desdeñable. La peste antonina o plaga de Galeno (probablemente viruela o sarampión) en el siglo II d. n. e. que causó un drástico decrecimiento de la población del Imperio romano. Según el historiador romano Dion Casio causó en Roma cerca de 2000 muertes por día. Esta plaga se extendió a la Galia y a las legiones romanas del Rhin, llegando hasta Egipto. Algunos historiadores aseguran que contribuyó a la aceleración de la caída del imperio.^3,4

Sin duda, la muerte negra o peste negra o peste bubónica, que azotó a Europa en la mitad del siglo xiv, fue una de las plagas más temidas y que más defunciones causó. Tal vez más de la mitad de la población europea pereció. Se originó en Mongolia en 1328 y se extendió rápidamente a China, India, Medio Oriente, norte de África y Europa. Lo más aceptado en la actualidad es que fuera causada por la bacteria Yersinia pestis. Esta pandemia es una de las más documentadas en un periodo anterior a la epidemiología como ciencia. No afectó ni al África subsahariana, ni a América, poniendo de relieve su transmisibilidad de persona a persona. Reapareció en Europa en múltiples ocasiones, incluso entrado el siglo xix.^5,6,7,8

Otra plaga devastadora fue la de viruela, la que provocó la muerte de la mitad de la población azteca en 1520, durante la conquista española. Este hecho, sin duda, fue una ventaja inmunológica de más relevancia que las ventajas tecnológicas y políticas que también disfrutaron los conquistadores. La última gran pandemia de influenza devastadora, fue la gripe española, que en Europa dejó 20 millones de muertos en 1919, más que los que produjo la primera guerra mundial que acababa de concluir en 1918. No son pocos los investigadores que añaden la cifra de muertos por la influenza a los producidos por la conflagración, pues no sin falta de razón, el estado en que había quedado Europa imposibilitó tomar medidas eficaces para enfrentar la catástrofe.^9,10

Una observación importante, es que las diversas epidemias aparecían repentinamente creciendo en intensidad, para luego desaparecer dejando parte de la población sin infectar. Este comportamiento se observa en enfermedades que son fatales o en aquellas cuyas víctimas adquieren inmunidad contra la reinfección. Por lo tanto, la pregunta natural es ¿por qué algunas enfermedades se desarrollan intempestivamente y después desaparecen de la misma forma sin afectar a toda la comunidad?

Muchas de las enfermedades infecciosas que han asolado a la humanidad, como la viruela, la varicela, la poliomielitis o la tuberculosis, han desaparecido gradualmente del mundo moderno gracias a los programas de vacunación y a la medicina preventiva. Sin embargo, otras enfermedades persisten en gran escala, como las de naturaleza parasitaria en países del tercer mundo. Algunas se han convertido en endémicas, como la malaria o el dengue en regiones tropicales. Enfermedades que se creían controladas han resurgido poniendo en entredicho los sistemas y programas de salud, ejemplo de estas son el sarampión y la tuberculosis. A este panorama hay que añadir el surgimiento de nuevas enfermedades de naturaleza epidémica como el VIH/sida (1983), la gripe aviar (H5N1) (1997), el SARS (2002), la influenza A H1N1 (2009), y actualmente la COVID-19 (2019).^4,6

Todas estas enfermedades de naturaleza epidémica han impuesto retos a las políticas de salud pública. La COVID-19 ha puesto de relieve la interconexión global y la fragilidad de los sistemas nacionales de salud, incluso en países con el más alto nivel de desarrollo económico y mayor potencial científico, pero en los que la salud pública ha dejado de ser una prioridad de los estados. En muchos de estos países los modelos epidémicos matemáticos no fueron tenidos en cuenta, pues implicaba tomar medidas anti-epidémicas de salud pública que afectaban intereses económicos.

El modelo básico SIR (Susceptibles-Infectados-Recuperados) de Kermack y McKendrick es un modelo de compartimentos donde la población bajo estudio se divide en clases epidemiológicas y se describe un flujo entre ellas, como se muestra en la figura 1.

Fig. 1

En este modelo el compartimento del centro mide la prevalencia, es decir, el número de casos de una enfermedad en la población en un tiempo dado, o sea, I(t). Para este estudio, por ejemplo, I(t) indica cuántos casos positivos a la COVID-19 existen en un día epidémico dado, que es en la manera en que se va a medir el tiempo. A esa cantidad también se le reconoce como casos activos.

El modelo básico SIR de Kermack y McKendrick asume que la población total N se mantiene constante en el tiempo, o sea, es la suma de los susceptibles más los infectados más los recuperados (Ecuación 1):

N = S(t)+I(t)+R(t) (1 )

La transmisión es por contacto directo. Para transmitir la infección, un infeccioso hace contacto con βN individuos por unidad de tiempo. La probabilidad de contacto entre un infeccioso y un susceptible es S/N, luego el número de nuevas infecciones por unidad de tiempo es (βN)(S/N)I= βS I. Es decir, un infeccioso transmite la enfermedad con una tasa de contagio β, según la ley de acción de masas. Esto significa que los cambios en la población susceptible también se comportan según la ley de acción de masas. Por otra parte, una fracción ν de infectados por unidad de tiempo deja esa clase para convertirse en recuperados con inmunidad permanente. Esto conduce al sistema de ecuaciones diferenciales del modelo SIR (Ecuaciones 2,3,4).

(2)

/ (3)

/ (4)

Una vez que una cantidad inicial diferente de cero de individuos infecciosos entran a la comunidad en el tiempo inicial, comienza a desatarse la dinámica del modelo que puede conducir o no a un brote epidémico. El símbolo d dt significa la derivada, la cual podemos interpretar como los cambios por unidad de tiempo de susceptibles o infectados o recuperados, según la ecuación específica. Sin embargo, particularmente 𝑑 𝑑𝑡 𝐼(𝑡) tiene un significado importante en epidemiología pues representa la incidencia, la cual podemos definir como el número de casos nuevos de la enfermedad por unidad de tiempo.

Es interesante señalar que, en la ecuación 2, en la medida que pasa el tiempo su miembro izquierdo 𝑑 𝑑𝑡 𝑆(𝑡) toma siempre valores negativos ya que S(t) e I(t) son cantidades positivas, al igual que la tasa β. Esto significa que la cantidad de susceptibles S(t) del primer compartimento, decrece. El mismo razonamiento puede hacerse para la ecuación 4, para la cual los recuperados R(t) del último compartimento son siempre crecientes. Esto es lo natural, ya que en el modelo epidémico los susceptibles comienzan con una cantidad N que va decreciendo en la medida que se van infectando, cambiando así a infectados. Por el contrario, al inicio de la epidemia no hay recuperados, pero una vez pasado el periodo infeccioso empiezan a aparecer y se hacen cada vez más numerosos. Aunque no es propósito de este trabajo, se puede demostrar que el periodo infeccioso está relacionado con el parámetro ν del modelo y concretamente es el inverso de ν, o sea, 1 𝜈 que para la COVID-19 es de 14 días.

Este análisis sobre el crecimiento o decrecimiento que se explica de manera sencilla para los compartimentos de recuperados y susceptibles, no es tan fácil para el compartimento de infectados. Para establecer cómo es el crecimiento o decrecimiento de la prevalencia, es decir, de los infectados del compartimento central, o lo que es lo mismo, saber si la incidencia es positiva o negativa, hay que utilizar herramientas del cálculo diferencial e integral que no se incluyen en el presente estudio. Lo que conduce al número reproductivo básico (R₀).

Para saber si los infecciosos crecerán, desatando la epidemia o por el contrario decrecerán extinguiéndose, hay que analizar el número reproductivo básico, denotado por R₀. Este número en el modelo SIR básico se define en la siguiente ecuación 5.

(5)

R₀ representa el número promedio de infecciones secundarias producidas por un individuo, durante su periodo infeccioso, en una población donde todos son susceptibles. Si este número es menor que uno, no habrá brote epidémico, ya que la incidencia es negativa, o lo que es lo mismo, la prevalencia es decreciente. Por el contrario, si R₀ > 1, entonces se desatará un brote epidémico que en su inicio tendrá un crecimiento exponencial, lo que significa que lo hace de manera muy rápida en el tiempo. Para ilustrar este proceso imaginemos que un individuo contagia a 2, esos 2 a otros 2 cada uno en un segundo nivel de contagio, por lo tanto, ya habrían 4 contagiados. Si continua esta progresión en el tercer nivel habrían 8 y para el décimo nivel de contagio habrían 1024 contagiados.

Como es natural razonar, la epidemia culmina cuando, en el tiempo, alguna de las cantidades S(t) o I(t) son cero, es decir, todos los susceptibles dejan de serlo para convertirse en infectados o los infectados se extinguen. Utilizando herramientas matemáticas se puede demostrar que la primera opción no es posible. La dinámica de lo que ocurre, cuando hay brote epidémico, es que los susceptibles decrecen hasta una cantidad límite usualmente denotada por 𝑆 ∞ . Paralelamente los infecciosos van creciendo hasta un valor máximo, para luego decrecer hasta extinguirse por completo. Este comportamiento cualitativo es consistente con las observaciones ampliamente documentadas a lo largo de las epidemias que han azotado a la humanidad y cuyos recuperados alcanzan una inmunidad permanente o suficientemente larga en el tiempo.

Lo expuesto puede observarse en la figura 2, cuyas curvas son la solución del sistema de ecuaciones.

Fig. 2 Fuente: Departamento de Vigilancia en Salud. Minsap.

Pueden apreciarse, las curvas de susceptibles a la izquierda (Fig. 2A), los infectados al centro (Fig. 2B) y los recuperados a la derecha (Fig. 2C), para un periodo de 120 días epidémicos en eje x. El eje y indica las cantidades de cada una de las clases. Como se observa, los susceptibles parten de un valor N (un poco más de 10 millones de personas) y decrece en el tiempo hasta una cantidad límite 𝑆 ∞ , aproximadamente de medio millón de personas. Los infectados (Fig. 2B) comienzan con muy pocos individuos, que apenas se distinguen, pueden ser uno o dos incluso, de pronto crecen repentinamente hasta un pico máximo de 3,4 millones de personas, que se alcanza a los 66 días. A los 120 días ya prácticamente han desaparecido. Los recuperados comienzan en cero hasta que la totalidad de infectados han sanado.

En este modelo simple se desprecia el número de muertes por la enfermedad, así como por otras causas. De igual manera los nacimientos en el periodo también son ignorados. Existen modelos más sofisticados que toman en cuenta la demografía, otros consideran un mayor número de clases, por ejemplo, se incluyen clases de infectados latentes o infectados asintomáticos. Otros modelos incorporan parámetros vinculados a las políticas anti-epidémicas. Incluso otros modelos SIR no son deterministas como el que se presenta en el presente estudio, sino que incorporan términos probabilísticos o procesos estocásticos^a en su diseño. Todos estos modelos son matemáticamente más complejos. El modelo básico demostró durante la pandemia del H1N1 en 2009, ser lo suficientemente robusto para diseñar y verificar las políticas de salud pública, además con su divulgación, concientizar a la población de la importancia del cumplimiento de las medidas dictadas. No obstante, los modelos más sofisticados forman parte del arsenal que permite comprender una epidemia y son utilizados junto a este para dar respuestas a distintas preguntas y corroborar resultados.

La estimación de R₀ debe realizarse a partir de las primeras observaciones una vez detectado el brote epidémico. Como se observa de su definición, R₀ depende de β, ν y N. Para la COVID-19 los valores de ν y N son conocidos, uno está relacionado con el periodo infeccioso y el otro es el número de pobladores. Sin embargo, la tasa de contagio β debe ser estimada, lo cual se realiza estimando la incidencia per cápita que se conoce como fuerza de la infección. Un análisis de regresión a partir de los datos de prevalencia en los primeros momentos de la epidemia permite hacer las estimaciones de R₀. Una vez corroborado que este valor es mayor que uno, se desatan las alarmas y comienzan a proponerse las medidas anti-epidémicas. En muchos casos los gobiernos no tienen que esperar al cálculo del R₀ y toman medidas al observar un crecimiento abrupto de nuevos casos o brotes epidémicos en países vecinos. En particular en el caso de Cuba comenzó a prepararse, incluso, antes de que se reportara el primer caso, cuando ya todo apuntaba a que la COVID-19 se convertiría en pandemia.

Las medidas anti-epidémicas influyen en las tasas de contagio, por lo tanto, el β se va modificando en el tiempo de acuerdo al impacto de las disposiciones tomadas. En Cuba podemos citar como los principales eventos de 2020 los siguientes:

11 de marzo: día 1 epidémico. Primeros tres casos confirmados en la provincia de Sancti Spíritus. Turistas italianos.

A todo esto, hay que añadir una fuerte campaña de divulgación sobre medidas higiénicas, como el lavado de manos y desinfección de superficies; uso obligatorio del nasobuco y mantener una distancia física de más de 1,5 metros entre personas. Además, se realizó una estructuración de la venta de los comercios y otras disposiciones que prohibían aglomeraciones. Estas medidas buscan influir en la curva de infectados para que, en su pico, es decir la máxima prevalencia, no sobrepase las capacidades hospitalarias, principalmente las unidades de cuidados intensivos (UCI), ya que el uso de respiradores mecánicos en pacientes críticos es prácticamente indispensable. En hospitales de varios países desarrollados, acostumbrados a tener 5 casos diarios en las UCI, llegaron a tener 50 en los momentos de mayor prevalencia de la COVID-19.

Por esta razón, la tasa de contagio β y el R₀ se deben calcular periódicamente para dar los estimados a las autoridades sanitarias y gubernamentales, para que les permitan prever las necesidades de camas y equipamiento, así como las cantidades de medicamentos específicos a necesitar.

El modelo SIR básico, es un sistema dinámico determinista formado por tres ecuaciones diferenciales, donde cada una de ellas representa a una clase epidemiológica en la que se puede dividir la población en estudio, susceptibles, infectados y recuperados. La población se considera constante y el tránsito ocurre de una clase a la otra hasta la clase de recuperados, donde se permanece con inmunidad permanente. Los parámetros de las ecuaciones tienen significación epidemiológica y se van modificando a lo largo de la epidemia. Los números reproductivos básicos y efectivo (R₀) y (R_e) son indicadores epidémicos que permiten, de acuerdo a su valor, conocer el comportamiento de la epidemia (R₀ < 1 y R_e < 1 indican decrecimiento de la epidemia).

Los modelos dinámicos en conjunción con sistemas de salud pública robustos y políticas sanitarias coherentes permiten predecir el comportamiento epidémico y evaluar la eficacia de las políticas implementadas. La divulgación de la utilidad de los modelos matemáticos al personal de la salud, e incluso a un público más general, es de importancia para el apoderamiento de estas herramientas en épocas de pandemias. El modelo SIR básico de Kermack y McKendrick es útil para la predicción y apoyo a la toma de decisiones de salud pública, durante una epidemia de influenza, en particular con la COVID-19, que ha puesto a las fuerzas sanitarias en tensión para combatirla a nivel mundial. Asimismo, este modelo permite analizar rebrotes o eventos locales de transmisión y es aplicable a poblaciones específicas para la modelación de eventos, principalmente cuando hay implementadas medidas de aislamiento y baja interacción entre territorios. Esto permitió su aplicación en La Habana, donde sus estimados apoyaron a los epidemiólogos a cuantificar la magnitud de cada evento y prever su alcance.

Aunque no se ejemplificó en este trabajo, es bueno señalar que en comunidades pequeñas donde se hayan reportado casos de la enfermedad, si están cerradas, el modelo permite tener estimaciones locales fiables que permitan calcular mejor los recursos que se deben destinar para ellas.

Existen otros modelos más sofisticados que el simple de Kermack y McKendrick aplicado en el presente estudio. Especialmente los modelos SIR que incorporan la demografía, que pueden conducir a estados libres de la enfermedad o a estados endémicos, es decir, donde una cierta cantidad de infectados conviven en la comunidad. Esta condición es muy interesante estudiarla, ya que muchos de los virus que fueron pandemia en su momento como el H1N1, son endémicos en la actualidad. Mantener la endemia bajo control es muy importante y en este contexto el número R₀ de estos modelos está vinculado a su control.¹⁴

Un sistema de salud robusto y organizado es una ventaja muy importante para aprovechar las potencialidades de los modelos epidemiológicos. La calidad en la estimación de parámetros depende en gran medida de la calidad de los datos que el sistema de salud pueda proporcionar. En Cuba, el sistema de salud y el Gobierno aúnan esfuerzos para combatir la COVID-19, para lo que se apoyan en los modelos epidemiológicos, a la vez que proporcionan datos fiables para su elaboración. De esta manera, la información aportada por los modelos ayuda a la implementación de campañas contra la disminución de la percepción de riesgo y la erradicación de indisciplinas epidémicas y sopesar la implementación de las medidas de desescalamiento de las restricciones para la reanudación del quehacer económico sin perder el control epidemiológico en ningún momento.